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新(xin)智(zhi)元(yuan)報(bao)道(dao)

編(bian)輯(ji)：Aeneas

【新智元導(dao)讀(du)】這(zhe)壹(yi)年，数学領(ling)域(yu)有(you)什(shen)麽(me)大(da)事(shi)？Quanta Magazine做(zuo)了一份(fen)全(quan)年總(zong)結(jie)。

我(wo)們(men)可(ke)以(yi)把(ba)数学家(jia)想(xiang)象(xiang)成(cheng)考(kao)古(gu)学家——他(ta)们煞(sha)費(fei)苦(ku)心(xin)地(di)拂(fu)去(qu)世(shi)界(jie)隱(yin)藏(zang)结構(gou)上的(de)灰(hui)塵(chen)。

不(bu)過(guo)，有一點(dian)不同(tong)。数学家揭(jie)示(shi)的结构不僅(jin)是(shi)持(chi)久(jiu)的，而(er)且(qie)是不可避(bi)免(mian)的。不可能(neng)有任(ren)何(he)其(qi)他方(fang)式(shi)。

数学和(he)考古学之(zhi)間(jian)也(ye)有著(zhu)(zhe)一種(zhong)顯(xian)著的相(xiang)互(hu)聯(lian)系(xi)：盡(jin)管(guan)每(mei)年隨(sui)着新發(fa)現(xian)的出(chu)现，数学的前(qian)沿(yan)不斷(duan)擴(kuo)大，但(dan)随着看(kan)似(si)遙(yao)远的领域之间出现越(yue)來(lai)越多(duo)的联系，分(fen)支(zhi)学科(ke)不像(xiang)之前那(na)樣(yang)蔓(man)延(yan)開(kai)了。

對(dui)於(yu)非(fei)本(ben)專(zhuan)業(ye)的人(ren)来說(shuo)，很(hen)難(nan)向(xiang)他们解(jie)釋(shi)清(qing)楚(chu)，其中(zhong)的一些(xie)联系是多么令(ling)人震(zhen)驚(jing)。

一篇(pian)6頁(ye)的短(duan)論(lun)文(wen)指(zhi)出，结构何時(shi)會(hui)出现在随機(ji)圖(tu)中。一篇912页的長(chang)论文表(biao)明(ming)，緩(huan)慢(man)旋(xuan)轉(zhuan)的黑(hei)洞(dong)將(jiang)会一直(zhi)缓慢旋转下去，直到(dao)时间尽頭(tou)。

有些数学结果(guo)不仅对公(gong)眾(zhong)，对其他数学家来说也是难以理(li)解的。

Quanta Magazine采(cai)訪(fang)了杜(du)克(ke)大学的数论学家Lillian Pierce，講(jiang)述(shu)了她(ta)為(wei)讓(rang)更(geng)多数学家理解重(zhong)要(yao)的證(zheng)明和技(ji)術(shu)所(suo)做的工(gong)作(zuo)。

還(hai)采访了Wei Ho，他发现了橢(tuo)圓(yuan)曲(qu)線(xian)方程(cheng)的整(zheng)数解数量(liang)的新界限(xian)。

Alex Kontorovich在一段(duan)視(shi)頻(pin)和随附(fu)的专欄(lan)中討(tao)论了廣(guang)泛(fan)的Langlands program，該(gai)計(ji)劃(hua)把不同的数学领域间联系了起(qi)来。

尽管其中許(xu)多结果还沒(mei)有直接(jie)的實(shi)際(ji)應(ying)用(yong)，但或(huo)许，其中的某(mou)些抽(chou)象结果，最(zui)終(zhong)会成为提(ti)出新的、安(an)全的加(jia)密(mi)算(suan)法(fa)或更新现代(dai)通(tong)信(xin)所需(xu)的糾(jiu)錯(cuo)碼(ma)的關(guan)鍵(jian)。

從(cong)Quanta过去一年的数学报道中可以清楚地看出，並(bing)没有一條(tiao)特(te)定(ding)的路(lu)徑(jing)，能夠(gou)让人成为发现从未(wei)有人发现的基(ji)本真(zhen)理的数学家。

有些人从小(xiao)就(jiu)特別(bie)专註(zhu)于数学；有些人是半(ban)路出家。有些人符(fu)合(he)心不在焉(yan)的天(tian)才(cai)的刻(ke)板(ban)印(yin)象；有些人并不是。

正(zheng)如(ru)Huh所说，當(dang)談(tan)到人類(lei)思(si)維(wei)如何实现数学推(tui)理的飛(fei)躍(yue)时，「承(cheng)認(ren)我们不知(zhi)道发生(sheng)了什么，是一件(jian)很美(mei)妙(miao)的事。」

那些獲(huo)獎(jiang)的数学家们

每四(si)年，國(guo)际数学联合会都(dou)会向四位(wei)40歲(sui)以下的数学家，頒(ban)发一枚(mei)刻有阿(e)基米(mi)德(de)头像的金(jin)幣(bi)，「以表彰(zhang)他们在现有工作和未来成就方面(mian)的傑(jie)出数学成就。」

今(jin)年的菲(fei)爾(er)茲(zi)奖，颁給(gei)了June Huh、James Maynard、Maryna Viazovska和Hugo Duminil-Copin。

在一篇簡(jian)介(jie)中，Huh解释说，数学可以给他詩(shi)歌(ge)所不能的東(dong)西(xi)——「尋(xun)找(zhao)自(zi)身(shen)之外(wai)的美的能力(li)，嘗(chang)試(shi)把握(wo)外在、客(ke)觀(guan)和真实东西的能力。」

该奖項(xiang)表彰了他对许多不同猜(cai)想的证明。当他证明了裏(li)德猜想时，他发现了一個(ge)“隐藏在图的組(zu)合屬(shu)性(xing)之下”的深(shen)層(ceng)幾(ji)何结构。

Maynard获奖是因(yin)为他在解析(xi)数论方面的发现。研(yan)究(jiu)生畢(bi)业後(hou)不久，他证明了相差(cha)600或更小的素(su)数对有無(wu)窮(qiong)多个。

这是一个具(ju)有里程碑(bei)意(yi)義(yi)的结果，但如果另(ling)一位数学家没有在几个月(yue)前证明素数对之间的间隙(xi)存(cun)在有限界，那么它(ta)会更加重要。这就是兩(liang)位数学家，在素数分布(bu)問(wen)題(ti)上取(qu)得(de)了并行(xing)的進(jin)展(zhan)的例(li)子(zi)。

而Maynard通过证明存在无限多个不包(bao)含(han)给定数字(zi)（例如 7）的素数，補(bu)充(chong)了他关于素数间隙的工作。

人们早(zao)就知道，在平(ping)面上排(pai)列(lie)圆圈(quan)最密集(ji)的方式，就是在蜂(feng)窩(wo)中。

十(shi)年前，一个自17世紀(ji)以来一直存在的，关于如何在三(san)维空(kong)间中最有效(xiao)地排列球(qiu)體(ti)的猜想，得到了证明。但更高(gao)的维度(du)一直是个謎(mi)。

Viazovska证明，特定的八(ba)维晶(jing)格(ge)提供(gong)了在八维空间中堆(dui)積(ji)球体的最有效方式。

她和合作者(zhe)对该结果进行了概(gai)括(kuo)，证明了这种晶格在各(ge)种情(qing)況(kuang)下，都能最大限度地減(jian)少(shao)系統(tong)的能量。

第(di)四位菲尔兹奖获得者Duminil-Copin，因提出液(ye)体如何流(liu)过多孔(kong)介質(zhi)的广义理论而获奖。

菲尔兹奖并不是数学界今年颁发的唯(wei)一奖项。

Dennis Sullivan因其对拓(tuo)撲(pu)学的貢(gong)獻(xian)，而获得Abel奖，其中包括提出一种对某些类型(xing)的流形(xing)(manifold)进行分类的新方法——空间在小範(fan)圍(wei)內(nei)看起来是平坦(tan)的，但在整体檢(jian)查(zha)时会更加復(fu)雜(za)。

因为更好(hao)地理解了用于模(mo)擬(ni)電(dian)子行为的準(zhun)周(zhou)期(qi)算子(quasi-periodic operators)，Svetlana Jitomirskaya 获得了第一屆(jie)Ladyzhenskaya 数学物(wu)理学奖。

舊(jiu)数论问题的新证明

繼(ji)成果大爆(bao)发的2021年之后，对于各年齡(ling)段的数论家来说，2022年也是豐(feng)收(shou)的一年。

高中生Daniel Larsen发现了稱(cheng)为卡(ka)邁(mai)克尔数的偽(wei)素数之间的差距(ju)的界限，例如561在某种意义上类似于素数，但可以被(bei)分解（在这种情况下 561 = 3 × 11 × 17）。

牛(niu)津(jin)大学的研究生Jared Lichtman证明，根(gen)據(ju)某种衡(heng)量標(biao)准，实际素数是原(yuan)始(shi)集的最大示例。

加州(zhou)理工学院(yuan)的两位数学家证明了 1978 年的一个猜想，这个猜想預(yu)測(ce)立(li)方高斯(si)求(qiu)和，它对某些

素数以

形式的数求和，加起来总是得到大約(yue)为 $latex p^{5/6}$的结果。

他们证明了广义黎(li)曼(man)猜想的真实性，此(ci)前数学家普(pu)遍(bian)认为它是真实的，但尚(shang)未证明。

與(yu)此同时，黎曼假(jia)設(she)的一个倍(bei)更简單(dan)的类比(bi)（次(ci)凸(tu)性问题）被解決(jue)了。

一对数学家证明，一个整数的质因数是偶(ou)数还是奇(qi)数，对其前后的整数是偶数还是奇数没有影(ying)響(xiang)。

另一组表明，至(zhi)少2/21且不超(chao)过5/6的整数，可以寫(xie)成两个立方分数之和。

1993 年，一位名叫(jiao)Peter Stevenhagen的数学家推测，不是奇素数时，方程在58%的情况下有整数解。（当它是奇素数，如3或7时，方程解不出来）。

今年，他的假设得到了证实。

这是几个长期存在的猜想之一，后来都被证明是正確(que)的。

30 年前André-Oort猜想关于誌(zhi)村(cun)簇(cu)结构(Shimura varieties)的猜想终于得到证明，85 年前的范德瓦(wa)尔登(deng)猜想(Van der Waerden conjecture)也被证明了，这个猜想推测出有多少多项式具有不可互換(huan)的根。

在 1970 年代，Paul Erd?s和Ronald Graham假设足(zu)够大的整数集必(bi)須(xu)包含倒(dao)数和为1的子集，这一点在今年得到了证明。

数学家还证明了，如此大的整数集必须包含称为无限和集(infinite sumset)的东西，他们使(shi)用了動(dong)力系统研究的方法，证明了这一点。

机器(qi)学習(xi)数学

深度学习是一种广泛使用的AI技术，它在国际象棋(qi)和围棋等(deng)遊(you)戲(xi)中擊(ji)敗(bai)了冠(guan)軍(jun)，并在語(yu)音(yin)識(shi)别等任務(wu)中被证明極(ji)其准确，而它也被用在某些数学领域。

研究人員(yuan)用它来寻找不寻常(chang)的奇点，即(ji)模拟流体流动的方程式中的崩(beng)潰(kui)点。

一个團(tuan)隊(dui)使用了计算机輔(fu)助(zhu)证明，明确证明了模拟某些类型的理想流体的特定版(ban)本的歐(ou)拉(la)方程式会崩溃。

还有一个团队研究了相关的 Navier-Stokes 方程(它可以更准确地模拟大多数真实世界的流体)，想看看它们是否(fou)也会崩溃。（任何证明这一点的人，都将贏(ying)得克萊(lai)数学研究所颁发的百(bai)萬(wan)美元奖金。）

其他一些团队使用机器学习来解决图论和组合学中的问题，創(chuang)造(zao)了更好的矩(ju)陣(zhen)乘(cheng)法技术，并提出紐(niu)结理论中的新猜想。

Sébastien Bubeck和Mark Sellke通过使用数学技术分析神(shen)經(jing)網(wang)絡(luo)，来证明它们要穩(wen)健(jian)地工作必须有多大，从而扭(niu)转了局(ju)面。

在Quanta的Joy of Why播(bo)客中，Steve Strogatz詢(xun)问了Kevin Buzzard计算机是否可以成为数学家，并与Melanie Matchett Wood讨论了数学家如何才能真正相信某个结果已(yi)被证明。

氣(qi)泡(pao)、形狀(zhuang)和空间

几何学家们也度过了同样忙(mang)碌(lu)的一年。

5 月，Emanuel Milman和Joe Neenan发现了气泡簇的形状，可以在任何维度上最有效地包围三到四个体积。

Isabel Vogt和Eric Larson解决了插(cha)值(zhi)问题，即某些类型的曲线可以通过高维空间中的多少个随机点。

Andras Máthé、Oleg Pikhurko和Jonathan Noel解决了一个更古老(lao)的问题，弄(nong)清楚了如何将一个圆切(qie)割(ge)成可视化(hua)的部(bu)分，然(ran)后再(zai)重新排列成正方形。

Martin 和 Erik Demaine（父(fu)子倆(liang)）发表了一篇论文，展示了如何将任意多面体折(zhe)疊(die)成平面形状——只(zhi)要允(yun)许有无限多的折痕(hen)。

八月，数学家和物理学家合作发表了一篇论文，闡(chan)述了一个关于薄(bo)型材(cai)料(liao)的曲率(lv)如何影响其被壓(ya)扁(bian)时形成皺(zhou)紋(wen)的新理论。

Dusa McDuff 和几位合作者发现，当他们试图将被称为椭圆体的形状嵌(qian)入(ru)Hirzebruch表面时，出现了复杂的分形结构——这是一个没有人想到会发现分形的地方。

其他数学家在证明Kakeya猜想方面取得了进展，这个猜想对需要多大的空间才能转动一根針(zhen)，使其指向任何方向作出了限制(zhi)。但目(mu)前人们对于该猜想在实数领域是否真的存在，还存在疑(yi)问。

拓扑歷(li)險(xian)記(ji)

Will Hide和Michael Magee在2021年使用从图论中借(jie)用的技术，展示了高属曲面类型的存在，它们以一种长期以来被认为、但未被证明的方式，与自身緊(jin)密联系在一起。

Ian Agol证明了1981年关于如何对節(jie)点的复杂性进行排序(xu)的猜想。

二(er)维空间的结可以用来划定一个叫做塞(sai)弗(fu)特曲面的邊(bian)界。许多即使在三维空间中操(cao)作结点也彼(bi)此不同的塞弗特曲面，如果在四维空间中操作结点，就可以使其等價(jia)。

拓扑学家首(shou)次发现了一对即使在四维空间中也仍(reng)然彼此不同的塞弗特面。

随机结构的出现

三月份发表的一个非常简短的证明证明了Kahn-Kalai猜想，这个猜想列出了结构在随机图中出现的条件。

在此之前，1月份的一个证明表明，只要把超图（一种高度連(lian)接的图的泛化）做得足够大，就总是有可能以滿(man)足两个看似不相容(rong)的标准的方式，建(jian)立一个超图。

新的图论结果不断湧(yong)现。

4月，Oliver Janzer和Benny Sudakov回(hui)答(da)了一个长達(da)半个世纪的问题，即什么时候(hou)图必须不可避免地變(bian)得「有規(gui)律(lv)」，或者说，以每个节点都与相同数量的边相连的方式相互连接。

參(can)考資(zi)料：

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