卫浴广告文案500字

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新(xin)智(zhi)元(yuan)報(bao)道(dao)

編(bian)輯(ji)：编辑部(bu)

【新智元導(dao)讀(du)】關(guan)於(yu)「零点猜想」問(wen)題(ti)，大海(hai)裏(li)的(de)針(zhen)我(wo)沒(mei)撈(lao)到(dao), 但(dan)海底(di)地(di)貌(mao)我探(tan)得(de)差(cha)不(bu)多(duo)了(le)。

壹(yi)支(zhi)馬(ma)克(ke)笔，一张小(xiao)白(bai)板(ban)。

剛(gang)刚，张益唐教(jiao)授(shou)現(xian)身(shen)北大，在(zai)B站(zhan)的直(zhi)播(bo)平(ping)臺(tai)上，給(gei)廣(guang)大网友(you)上了一堂(tang)大師(shi)級(ji)數(shu)學(xue)課(ke)。

授课內(nei)容(rong)大家(jia)都(dou)知(zhi)道了，就(jiu)是(shi)最近(jin)张教授刚刚取(qu)得的新突(tu)破(po)：朗(lang)道-西(xi)格(ge)爾(er)零点猜想问题。

這(zhe)是张益唐親(qin)自(zi)對(dui)自己(ji)前(qian)不久(jiu)的那(na)篇(pian)論(lun)文(wen)的全面(mian)解析(xi)。

全程(cheng)40分(fen)鐘(zhong)，無(wu)廢(fei)話(hua)无尿(niao)点，硬(ying)核(he)知識(shi)拉(la)滿(man)，信(xin)息(xi)密(mi)度(du)極(ji)大。

文字(zi)實(shi)錄(lu)

首(shou)先(xian)，我得介(jie)紹(shao)一下(xia)这個(ge)问题本身。

雖(sui)然(ran)我的论文已經(jing)掛(gua)到aXiv上了，但還(hai)是得介绍一下：什(shen)麽(me)叫(jiao)朗道-西格尔零点呢(ne)？

对于这个狄(di)利(li)克雷(lei)L函(han)数，L(s,χ)的原(yuan)始(shi)定(ding)義(yi)是这樣(yang)的：

分子(zi)是χ(n)这个值(zhi)，分母(mu)就是n的s次(ci)方(fang)。

此(ci)時(shi)，我們(men)只(zhi)考(kao)慮(lv)s是个实数的时候(hou)，也(ye)就是說(shuo)s=1的时候，它(ta)不等(deng)于0。那么s＜1的时候，就是说比(bi)1稍(shao)微(wei)小一点， 它有(you)没有可(ke)能(neng)等于0？

这个问题因(yin)為(wei)牽(qian)扯(che)到很(hen)多数论的東(dong)西，所(suo)以(yi)很重(zhong)要(yao)，但始終(zhong)没有人(ren)能夠(gou)解決(jue)。

只考虑L(s,χ)不等于0的情(qing)況(kuang)——

如(ru)果(guo)s比1稍微小一点，这个分母是比較(jiao)可控(kong)的，c是个常(chang)数

这是一个猜想，我们说这个猜想比黎(li)曼(man)假(jia)設(she)要弱(ruo)得多，至(zhi)少(shao)是对L函数的黎曼猜想（广义黎曼猜想）。广义黎曼猜想是说这个S的实部大于1/2的话不等于0，但就只是很接(jie)近1的时候不等于0。

这个猜想本质上说就是朗道-西格尔零点问题。

这个问题，就是要证明这样的一類(lei)零点是不存(cun)在的（尤(you)其(qi)是实零点，虛(xu)零点还容易(yi)一点）。

那么现在我们能做(zuo)到什么程度呢？應(ying)該(gai)说本质上我们至少证明了这样一个东西

这个2024就像(xiang)孿(luan)生(sheng)素(su)数里面的情况一样，是可以改(gai)進(jin)的。

前兩(liang)天(tian)消(xiao)息刚傳(chuan)出來(lai)的时候，很多人不是做数学的，所以不理(li)解这个朗道-西格尔零点问题解决的是什么，甚(shen)至有人以为就是证明了黎曼假设是錯(cuo)的。

这个我得说一句(ju)：我可没有这个本事(shi)（笑(xiao)）。我只是在一定範(fan)圍(wei)内部分地证明了黎曼假设应该是对的。如果说我推(tui)翻(fan)了黎曼假设，那应该是没什么人會(hui)相(xiang)信。

在这篇论文第(di)二(er)節(jie)的結(jie)尾(wei)，我引(yin)进了三(san)个proposition，都是不等式(shi)。这三个不等式合(he)在一起(qi)後(hou)，如果说朗道-西格尔零点存在的话，就可以得出一个矛(mao)盾(dun)。

而(er)这个讲起来就是一个非(fei)常非常復(fu)雜(za)的东西，要讲清(qing)楚(chu)也不容易，但是我可以讲一讲，这里面它的一个基(ji)本思(si)路(lu)，讲一下它最后的歸(gui)结。最后就是归结到这样一个事情上——

怎(zen)么会归结到这个事情上呢？

对于一个有限(xian)的实数序(xu)列(lie)χn，怎么样证明它並(bing)不是非負(fu)的？

这就是要去(qu)证明其中(zhong)有一个（至少有一个）χn是小于0的。

说起来这个问题是什么呢？有点不著(zhe)邊(bian)際(ji)。

但事实上很有意(yi)思，在数论中，特(te)別(bie)是解析中，很多东西可以归结到这么一个问题。

于是我们就需(xu)要發(fa)展(zhan)一个技(ji)巧(qiao)，来证明这个东西是不等于0的。

第一个例(li)子，我们就说一个偶(ou)数N（一个比较大的偶数），我们用(yong)ρ(n)定义这个素数的特征(zheng)函数，都是定义在正(zheng)整(zheng)数上。

如果n是素数，ρ(n)等于1，如果n不是素数，ρ(n)就等于0。

就可以得到

我们说这个序列会什么样？

一般(ban)情况下，它可能等于1，也可能等于0， 但它有没有可能是负的呢？

很明顯(xian)如果ρ(n)是负的，它必(bi)須(xu)等于-1，而且(qie)他(ta)负的充(chong)要條(tiao)件(jian)是ρ(n)和(he)ρ(N-n)都是素数。这时候χn才(cai)可能是负的，正好(hao)等于-1。

很明显，N永(yong)遠(yuan)是等于n+(N-n)，也就是N就是一个素数加(jia)上另(ling)外(wai)一个素数。

就是说如果在这个序列（1＜n＜N）里，有某(mou)一个χn是小于0的话，充要条件是N是两个素数的和。

所以哥(ge)德(de)巴(ba)赫(he)猜想最后就可以归结到我们来構(gou)建(jian)这样一个有限序列，这里頭(tou)是不是有这么一个小于0的数？如果有的话，哥德巴赫猜想就是对的。

那么，是不是还有别的问题也是这样呢？

其实假如我们对孪生素数猜想给出一个弱结果，那么也会是这样的，也就是造(zao)成(cheng)这么一个χn。

它这个定义也是

如果这里面有两个是素数，那么χn就嚴(yan)格小于0；如果只有一个素数，那么就等于0；如果没有就大于0。

所以在这样一个序列里面，我们可以人为地把(ba)n的范围给它確(que)定，里面有没有负的？这就是我们在孪生素数研(yan)究(jiu)下取得的突破。我们的出发点就是这个东西。

话再(zai)说回(hui)来，怎么样去证明某一个χn是小于0，我们就给出了一个很簡(jian)單(dan)的数列，哪(na)怕(pa)里面有10000个数，我们也可以寫(xie)出来这里面是不是有一个是负的，这很简单。

但我们这里考虑的都是理论性(xing)的问题，N是一个很大的数，怎么样去定义这个东西等于0。

这是第一个例子。实际上它既(ji)包(bao)括(kuo)了哥德巴赫猜想，也包括了孪生素数弱结果的研究。

第二个例子是一个純(chun)公(gong)式的例子，它跟(gen)我要做的事情是相关的。

如果有一个Assumption，我们就假定ρ(n+1)>ρn+c——

也就是说零点的間(jian)隔(ge)比c要大，那么我们也可以把它归结成——

其中，f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。

为什么这么说呢？因为隨(sui)便(bian)一个ρn，從(cong)ρn到ρn+c之(zhi)间，他一定没有零点。而ρn+a和ρn+b一定在这段(duan)之间，因为f是連(lian)續(xu)函数，所以他们的乘(cheng)積(ji)一定是大于等于0的。

所以如果我们要证明assumption是不对的，可能有零点的间隔比c要小。如果我能够证明有一个χn是负的，只要证明它≤0，那这个assumption就错了。

如果我想证明的话，我就得去弄(nong)。

那么究竟(jing)我们需要怎么處(chu)理这个问题呢？

要证明有限的实数序列不是非负的，里面至少有一个是严格小于0的，怎么去证明呢？

我们常用的处理方法(fa)是这样：

我们找(zhao)一組(zu)新的实数序列{yn}，它要满足(zu)两个条件。第一：yn≥0，第二个：∑xnyn＜0。只要能找到这样一组yn，这问题就解决了。

那这里头肯(ken)定有一項(xiang)是严格小于0的，但yn是大于等于0，那么xn必须是小于0的。这就解决了传統(tong)要去做的事情。

可是怎么去選(xuan)yn呢？这就牵扯到整个篩(shai)法发展的歷(li)史(shi)了。

最早(zao)是挪(nuo)威(wei)数学家Brown在一个世(shi)紀(ji)前，应该在1917、18年(nian)的时候他找到了一组yn。这组yn的表(biao)述(shu)是很复杂的，但满足这类条件。

然后他用这个条件能推出9+9，在當(dang)时来讲是不可思議(yi)的，是一个驚(jing)人的构造。

后来，到了20世纪40年代(dai)末(mo)，另外一个挪威数学家叫塞(sai)尔伯(bo)格，他想得就比较简单，他说幹(gan)脆(cui)我就去构造一组实数序列zn，zn是实数就行(xing)，没有任(ren)何(he)限制(zhi)。

然后把yn取成zn平方，于是第一个条件就自然满足了——实数的平方必然是大于等于0的。

于是问题就變(bian)成了，能不能得出下式小于0？

这里要牵扯到孪生素数猜想最近的进步(bu)，特别是梅(mei)納(na)德最近的貢(gong)獻(xian)（他最近得了菲(fei)尔茲(zi)数学獎(jiang)）。

xn的取值與(yu)孪生数有关，我们希(xi)望(wang)这里面至少有一个是负的，然后是求(qiu)和。

在我之前有三个数学家，他们找到一组zn，能够证明这个和非常切(qie)近0，并且可以做到讓(rang)ε任意小。

但是小于0这一步他们怎么也跨(kua)不過(guo)去。

而这里的主(zhu)要障(zhang)礙(ai)就是，他们要用到素数在等差级数里的分布(bu)，那里头有个限制就是有一个exponent指(zhi)数，它不能超(chao)过1/2，否(fou)則(ze)余(yu)项就控制不住(zhu)。

于是他们就跨在这个边上，用他们的话来说差一根(gen)头发絲(si)就能跨过去了，但这个头发丝就没跨过去。

然后再下一步是我的工(gong)作(zuo)：

我的工作从单獨(du)意义上来讲，在等差级数分布的问题上，应该是第一次突破了指数等于1/2的界(jie)限，就是说可以把这个指数取到比1/2再大一点。但我用的zn基本上还是他们引进的。

后来梅纳德就把这个问题改进了一大步，他引进了一種(zhong)新的zn，最后能够证出这个孪生素数的弱形(xing)式，最后我们都是归结到这样一个不等式。

下面我们再回到朗道-西格尔零点，

我们也去构造像例2中实的连续函数，如果两个点中间没有零点的话，它们就是同(tong)號(hao)，它们的乘积应该就是非负的。

在论文的引理2.3中，我给出了这么一个东西，那么我就是要证明这么一个事情——

如果存在朗道-西格尔零点，就推出

我想证明这个东西

是错的，也就是说我能证明

这个里面有一个是负的话，就可以了。

我花(hua)了很長(chang)时间，去证明下面这个结果是小于0的。

我找了很多很多这样的东西，发现一些(xie)非常有意思的事情：我没能直接证明它是小于0的，但我发现对很多zn它接近0。

它会小于一个ε乘上一个东西，而这个ε可以盡(jin)量(liang)小，我发现很多这样的zn。所以就差一点。

当孪生素数猜想出来时，有人说我是大海捞针。但实际上不太(tai)对，孪生素数实际上我没有去捞什么针。

但是去找这个zn，我确实是在大海捞针。

我試(shi)了很多很多东西，包括用到像变分法啊(a)，用积分方程去找最大特征根啊，最后都是有一个问题：妳(ni)可以在不同角(jiao)度去找zn，找出来以后都是小于一个ε乘上一个数字，但这个ε你就是跨不过去，有点像我在做孪生素数时那样。

那最后是怎么去解决的呢？

这里我就想提(ti)到我在一開(kai)始给出的第一个公式。我的一个最初(chu)的想法，就是最关鍵(jian)的一步，我为什么能達(da)到一个这样的证明。

第一步，我找到两组序列，都可以写成是这种形式——

这两组序列我都可以证明……（这里还是把它写出实数形式）

这个东西我不能证明它小于0，实际上严格算(suan)它就是不小于0，但可以证明它非常接近于0。

同时呢，我也可以证明对于cn和dn，下面这个结果也是接近于0的。

而且呢，证明这两个关系(xi)式虽然看(kan)起来结果是一样的，但证明的方法是完(wan)全不一样的，是两种完全不同的treatment。

于是，我们又(you)有一种方式证明这个东西接近0，但不能证明它小于0。

那么这两组序列有没有可能发生沖(chong)突呢？有冲突，就能给出一个矛盾。于是我就用了这样一个关系式。

出发点我们还是假定xn大于等于0。

然后我们用这样一个关系式，也就是一开始写的那个。

因为这个χn是非负的，χn我们就不需要取絕(jue)对值了。

我们再用这个关系式取一个绝对值，这里可以全部都取绝对值，減(jian)号就变成加号了。

我们有这样一个关系式，但是我们可以证明，实际上可以假定χn是非负的，我们可以用柯(ke)西不等式来估(gu)計(ji)下面这个的上界。

最后我们发现我们得到一个矛盾（算这个和不如用柯西不等式），我们发现算这个东西是不对的，左(zuo)边应该是比右(you)边的更(geng)大，于是用这个方式就推出矛盾来了。

大家有興(xing)趣(qu)的话可以翻譯(yi)一下我这篇文章(zhang)，在第二节最后，我是用三个proposition就把它给弄下来了，然后剩(sheng)下的就是去证明那三个proposition。

我们考虑一下数论的历史，一开始我们總(zong)是有这样的问题，要去构造一个yn。第一个条件是，这个yn必须是非负的，或(huo)者(zhe)什么样，然后它乘以χn，加起来要小于0，要去构造这样一个yn。

最早是Brown在1718年 ，用默(mo)比烏(wu)斯(si)函数的组合来构造出这样一个东西。

后来自从Selburg之后，yn就取成zn的平方，这个东西一直沿(yan)用下来。

当时我在做孪生素数猜想，我们也知道，yn等于zn平方，它只是一个能够保(bao)证它大于等于0的充分条件，但不是必要条件，还有没有别的形式 ？

有很多人想过，但目(mu)前为止(zhi)没有人想出来（yn不是这个平方的形式）。

在我在这里，似(si)乎(hu)有一种新的辦(ban)法（更复杂），实际上我是引进了4个序列。

最后如果这些χn都是大于0，我能推出矛盾来。

今(jin)天我就先讲到这兒(er)，这个东西作为介绍性的，我也只能讲得比较初等一点。

PS：如有错誤(wu)，歡(huan)迎(ying)在留(liu)言(yan)中指正。

论文淺(qian)析

在这篇最新的论文中，张益唐教授提出了两个定理。

第一，对于L(1,χ)的估计：

第二，可能存在的西格尔零点不大于：

其中，c1和c2都是正实数，且与D无关。

论文地址(zhi)：https://arxiv.org/abs/2211.02515

此前，张益唐教授证明朗道-西格尔零点猜想的论文已经广泛(fan)流(liu)传，由(you)于全篇涉(she)及(ji)解析数论等硬核知识，对于广大网友的理解門(men)檻(kan)还是相当高(gao)的。

论文公布之后，来自知乎、B站、微博(bo)等媒(mei)體(ti)平台的各(ge)路專(zhuan)業(ye)人士(shi)和UP主的解读也为数不少了。

比如B站知识區(qu)UP「鈺(yu)子一」对这篇论文结论的初步解读：

他的看法是，在假定张益唐教授的证明是正确的情况下（因为论文目前尚(shang)未(wei)经同行評(ping)议），这篇论文确实是距(ju)離(li)证明真(zhen)正的「零点猜想」最近的一次突破性成果。

下面是真正的「朗道-西格尔零点猜想」：

註(zhu)意非零域(yu)的范围，最后一项的指数为-1。

张益唐教授这次在论文中成功(gong)证明的定理1和定理2，其中2是1的推论：

可以看到，定理2的最后一项的指数为-2024，而原始的「零点猜想」的指数为-1。

換(huan)句话说，这是目前关于朗道-西格尔零点猜想问题上，已证结论和待(dai)证的「终极目標(biao)」之间，距离最近的一次。

张益唐教授在文末表示(shi)，这个-2024的指数值，可以取得更大一些，但目前按(an)照(zhao)论文中的思路，可能取不到-1。

除(chu)了热心(xin)网友的粗(cu)浅解析，来自山(shan)东大学的解析数论专家在「张益唐教授談(tan)朗道-西格尔零点猜想研究的新突破」中，也对张益唐教授这次的工作进行了专业角度的解析。

由于全体模(mo)D的狄利克雷特征（Dirichlet character）的適(shi)当線(xian)性组合，可以表示出模D算術(shu)级数的计数函数。因此，狄利克雷L-函数（Dirichlet L-series）与算术级数中的素数分布问题密切相关。

对于固(gu)定的狄利克雷特征，黎曼ζ函数的解析性质大多容易推广到相应的狄利克雷L-函数上去。比如当特征是复特征时，其L-函数与黎曼ζ函数有类似的非零区域：

但是，当特征是实原特征时，在区间

内至多可能存在一个一階(jie)实零点，这里c是一个适当的正常数。

张益唐教授在最新預(yu)印(yin)本论文里证明了，模D的实原特征L-函数在区间

内没有实零点，这里c是绝对实效(xiao)正常数。如果把这里的2024换成1，就得到原始形式的朗道-西格尔零点猜想。

专家指出，2024虽然大于1，但在数学意义上，与1并没有实质性的差别。

朗道-西格尔零点猜想

1859年，德國(guo)数学家黎曼在论文「论小于给定数值的素数个数」中，首次提及这个猜想。

黎曼发现，质数的分布跟某个函数有着密切关系：

这个公式中，s是复数，可以写成s=a+bi这样的形式（a是s的实部、b是s的虚部、i则是根号负一）。

当s的实部小于1时，整个级数和可能会发散(san)。为了让函数适用于更广的范围，黎曼把上面的ζ函数改写为：

当s为负偶数（s= -2, -4, -6…）时，黎曼ζ函数为零。这些s的值，就稱(cheng)为平凡(fan)零点。

不过，此外还有另一些s的值，能够让黎曼ζ函数为零，它们被(bei)称为非平凡零点。就是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影(ying)響(xiang)。

到了这里，黎曼本人也无法证明了。

不过他做了一个猜測(ce)：黎曼ζ函数所有非平凡零点的实部都是1/2，或者说黎曼ζ函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。这就是黎曼猜想。

随后的数学家们，在前人的基礎(chu)上繼(ji)续前进。

为此，数学家狄利克雷引入(ru)了狄利克雷L函数。

对于这个函数，也有一个猜想：狄利克雷L函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。这就是广义黎曼猜想。

倪(ni)憶(yi)在文章「千(qian)呼(hu)萬(wan)喚(huan)始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文」中解釋(shi)道，如果χ(n)的取值都是实数，那么L(s,χ)在

里最多只有一个零点，而且这个零点一定是实数。这个可能存在的零点被称为西格尔零点。而朗道-西格尔零点猜想则斷(duan)言，西格尔零点是不存在的。

更确切地说，存在一个正实数c，使(shi)得对于任何D和相应的实特征χ，L(x,χ)在

时都不等于0.

倪忆表示，朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊(shu)情形，但这是一种非常重要也非常困(kun)難(nan)的情形。在很多解析数论问题的研究中，都需要把西格尔零点单独拿(na)出来考虑。

所以一旦(dan)证明了朗道-西格尔零点猜想，就可以取得很多新突破，简化(hua)和加強(qiang)很多经典(dian)数论结果。

特别鳴(ming)謝(xie)：

普(pu)林(lin)小虎(hu)隊(dui)「千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文」

https://mp.weixin.qq.com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAA

山东大学「张益唐教授谈朗道-西格尔零点猜想研究的新突破」

https://mp.weixin.qq.com/s/AuRZOk_yx_dJC2pys9bUMg

钰子一科(ke)普张益唐关于朗道-西格尔零点猜想的文章！「他取得了突破性的进展，结论十(shi)分漂(piao)亮(liang)！」

直播录制：

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