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keyitigonggengbianjiedebendixinxifuwu，fangbianyonghushiyong。shenyidushuruanjianyongyoufengfudexuexiziyuan，jingzhideguwenhetangshi。dituduozhongduoyang。jingmeibaibianderenwuzaoxing，dazaogezhongduyiwuer；chengweixunyangshi，jianshezijizhuanshudemowumuchang！ziyoujianshegaizao，duozhongfenggesuixindapei！陶(tao)哲(zhe)軒(xuan)轉(zhuan)贊(zan)！ChatGPT自(zi)動(dong)證(zheng)明(ming)重(zhong)大(da)突(tu)破(po)，10年(nian)後(hou)AI將(jiang)稱(cheng)霸(ba)數(shu)學(xue)界(jie)

來(lai)源(yuan)：新(xin)智(zhi)元(yuan)

導(dao)讀(du)：盡(jin)管(guan)許(xu)多(duo)人(ren)並(bing)不(bu)願(yuan)意(yi)承(cheng)認(ren)，但(dan)是(shi)很(hen)可(ke)能(neng)，AI會(hui)在(zai)十(shi)年內(nei)趕(gan)超(chao)人類(lei)数学家(jia)。

前(qian)幾(ji)天(tian)，壹(yi)篇(pian)加(jia)州(zhou)理(li)工(gong)和(he)MIT研(yan)究(jiu)者(zhe)用(yong)ChatGPT证明数学定(ding)理的(de)論(lun)文(wen)爆(bao)火(huo)，在数学圈(quan)引(yin)發(fa)了(le)極(ji)大關(guan)註(zhu)。

英(ying)偉(wei)達(da)首(shou)席(xi)科(ke)学家Jim Fan激(ji)动转发，称AI数学Copilot已(yi)經(jing)到(dao)来，下(xia)一個(ge)发現(xian)新定理的，就(jiu)是全(quan)自动AI数学家了！

紐(niu)約(yue)時(shi)報(bao)近(jin)日(ri)也(ye)发文，称数学家們(men)做(zuo)好(hao)準(zhun)備(bei)，AI将在十年内赶上(shang)甚(shen)至(zhi)超過(guo)最(zui)優(you)秀(xiu)的人类数学家。

而(er)陶哲轩本(ben)人，也转发了此(ci)文。

Siobhan Roberts參(can)加了今(jin)年Machine Assisted Proofs舉(ju)辦(ban)的IPAM研討(tao)会，隨(sui)后她(ta)根(gen)據(ju)自己(ji)的经歷(li)和采(cai)訪(fang)，寫(xie)下了這(zhe)篇关於(yu)AI和数学的文章(zhang)

AI也来顛(dian)覆(fu)数学界了！

如(ru)今，数学家们不得(de)不正(zheng)視(shi)一股(gu)最新的革(ge)命(ming)性(xing)力(li)量(liang)——AI。

2019年，谷(gu)歌(ge)前雇(gu)員(yuan)、现任(ren)灣(wan)區(qu)初(chu)創(chuang)公(gong)司(si)员工的計(ji)算(suan)機(ji)科学家Christian Szegedy預(yu)測(ce)，计算机系(xi)統(tong)将在十年内赶上或(huo)超过最优秀的人类数学家解(jie)決(jue)問(wen)題(ti)的能力。而去(qu)年，他(ta)把(ba)目(mu)標(biao)日期(qi)修(xiu)改(gai)為(wei)2026年。

卡(ka)内基(ji)梅(mei)隆(long)大学的邏(luo)輯(ji)学家Jeremy Avigad（藍(lan)衣(yi)服(fu)），與(yu)学生(sheng)在形(xing)式(shi)化(hua)数学暑(shu)期学校(xiao)中(zhong)

2018年菲(fei)爾(er)茲(zi)獎(jiang)得主(zhu)、普(pu)林(lin)斯(si)頓(dun)高(gao)等(deng)研究院(yuan)的数学家Akshay Venkatesh目前還(hai)對(dui)使(shi)用AI不感(gan)興(xing)趣(qu)，但他十分(fen)熱(re)衷(zhong)于讨论AI相(xiang)关的話(hua)题。

去年的采访中，Venkatesh表(biao)示(shi)，「我(wo)希(xi)望(wang)我的学生意識(shi)到，这个領(ling)域(yu)会发生非(fei)常(chang)大的變(bian)化。」

而最近他的態(tai)度(du)是：「我不反(fan)对通(tong)过深(shen)思(si)熟(shu)慮(lv)、甚至刻(ke)意地(di)使用AI，来輔(fu)助(zhu)人类的理解。但我堅(jian)信(xin)，对于我们使用它(ta)的方(fang)式，我们需(xu)要(yao)保(bao)持(chi)正念(nian)，慎(shen)之(zhi)又(you)慎。」

在今年二(er)月(yue)，加州大学洛(luo)杉(shan)磯(ji)分校理论与應(ying)用数学研究所(suo)，曾(zeng)举行(xing)了一場(chang)关于「机器(qi)辅助证明」的研讨会。

研讨会的主要組(zu)織(zhi)者，就是2006年的菲尔兹奖得主、在UCLA任職(zhi)的数学家陶哲轩。

他指(zhi)出(chu)，用AI辅助数学证明，其(qi)實(shi)是非常值(zhi)得关注的现象(xiang)。

直(zhi)到最近几年，数学家才(cai)開(kai)始(shi)擔(dan)心(xin)AI的潛(qian)在威(wei)脅(xie)，無(wu)论是AI对于数学美(mei)学的破壞(huai)，还是对于数学家本身(shen)的威胁。

而傑(jie)出的社(she)区成(cheng)员们，正在把这些(xie)问题擺(bai)上臺(tai)面(mian)，开始探(tan)索(suo)如何(he)「打(da)破禁(jin)忌(ji)」。

暑期学校的组织者，自左(zuo)至右(you)：Avigad，Patrick Massot和Heather Macbeth

從(cong)歐(ou)几裏(li)得几何原(yuan)本到计算机代(dai)碼(ma)

几千(qian)年来，数学家已经早(zao)已適(shi)应了逻辑和推(tui)理的最新進(jin)展(zhan)。不过，他们准备好迎(ying)接(jie)人工智能了嗎(ma)？

洛杉矶蓋(gai)蒂(di)博(bo)物(wu)館(guan)中17世(shi)紀(ji)古(gu)希臘(la)数学家欧几里得的肖(xiao)像(xiang)：他衣衫(shan)襤(lan)褸(lv)，举著(zhe)自己的几何论文《元素(su)》

2000多年来，欧几里得的文本一直是数学论证和推理的範(fan)式。

卡内基梅隆大学逻辑学家Jeremy Avigad說(shuo)，欧几里得以(yi)近乎(hu)詩(shi)意的「定義(yi)」开始，在此基礎(chu)上建(jian)立(li)了當(dang)时的数学——使用基本概(gai)念、定义和先(xian)前的定理，每(mei)个連(lian)續(xu)的步(bu)驟(zhou)都(dou)「清(qing)楚(chu)地遵(zun)循(xun)」以前的步骤，以这樣(yang)一種(zhong)方式证明事(shi)物。

有(you)人抱(bao)怨(yuan)说，欧几里得的一些「明顯(xian)」的步骤，其实不太(tai)明显，但Avigad博士(shi)说，但这个系统奏(zou)效(xiao)了。

但是到20世纪以后，数学家们不愿意再(zai)将数学建立在这种直觀(guan)的几何基础上了。

相反，他们开发了正式的系统，这个系统中有着精(jing)確(que)的符(fu)號(hao)表示和机械(xie)的規(gui)則(ze)。

https://kilthub.cmu.edu/articles/journal_contribution/A_Formal_System_for_Euclid_s_Elements/6490703

最終(zhong)，在这种系统下，数学可以被(bei)翻(fan)譯(yi)为计算机代码。

1976年，四(si)色(se)定理成为第(di)一个在暴(bao)力计算的幫(bang)助下被证明的主要定理。

四色定理：四种顏(yan)色足(zu)以填(tian)充(chong)地圖(tu)，使得沒(mei)有兩(liang)个相鄰(lin)区域颜色相同(tong)

会抱怨的AI：抱歉(qian)，我看(kan)不懂(dong)妳(ni)们的定理

有这样一个数学小(xiao)工具(ju)，被称为证明助手(shou)，或交(jiao)互(hu)式定理证明器。

数学家会一步一步地将证明转換(huan)为代码，然(ran)后用軟(ruan)件(jian)程(cheng)序(xu)檢(jian)查(zha)推理是否(fou)正确。

驗(yan)证过程会累(lei)積(ji)在一个动态规范参考(kao)庫(ku)中，其他人都可以查閱(yue)。

https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/formal_turn.pdf

霍(huo)斯金(jin)森(sen)形式数学中心主任Avigad博士说，这种类型(xing)的形式化为今天的数学奠(dian)定了基础，就像欧几里得試(shi)图将那(na)个时代的数学转码，从而为其提(ti)供(gong)基础一样。

最近，开源证明助手系统Lean再次(ci)引发了大量关注。

Lean是现在的亞(ya)馬(ma)遜(xun)计算机科学家Leonardo de Moura在微(wei)软时开发的。

Lean使用的是自动推理，由(you)老(lao)式的AI GOFAI提供支(zhi)持，这是一个受(shou)逻辑啟(qi)发的象征(zheng)式AI。

截(jie)至目前，Lean已经验证了一个将球(qiu)體(ti)从内到外(wai)转动的有趣定理，以及(ji)一个统一数学领域方案(an)的关鍵(jian)定理。

但是，证明助手也有缺(que)點(dian)：它会时常抱怨自己不理解数学家輸(shu)入(ru)的定义、公理或推理步骤，因(yin)此它也被賜(ci)名(ming)「证明抱怨器」。

这些抱怨会讓(rang)研究变得繁(fan)瑣(suo)，但Fordham大学的数学家Heather Macbeth表示，这类提供逐(zhu)行反饋(kui)的功(gong)能，也会让系统对教(jiao)学很有用。

https://leanprover-community.github.io/courses.html

今年春(chun)天，Macbeth博士曾設(she)计了一門(men)「雙(shuang)語(yu)」課(ke)程，她将黑(hei)板(ban)上的每个问题都翻译成講(jiang)义中的Lean代码，学生们需要用Lean和自然语言(yan)提交解决方案。

https://hrmacbeth.github.io/math2001/

「这給(gei)了他们信心，」Macbeth博士说，因为他们会收(shou)到即(ji)时反馈，关于证明何时完(wan)成，以及沿(yan)途(tu)的每一步是对还是錯(cuo)。

而在参加研讨会后，约翰(han)霍普金斯大学的数学家Emily Riehl也嘗(chang)试了一把。

约翰霍普金斯大学的数学家Emily Riehl一直在使用实验证明辅助程序

她用了一个证明助手小程序，来证明自己此前发表过的文章中的定理。

使用完后，她大为震(zhen)驚(jing)。「我现在很深入得了解了证明的过程，比(bi)我之前的理解要深刻得多。我的思路(lu)如此清晰(xi)，以至于我可以向(xiang)最蠢(chun)的计算机解釋(shi)清楚。」

学生们在数学形式化暑期学校期間(jian)参加的一个小组項(xiang)目

暴力推理——这很不「数学」

另(ling)一个计算机科学家们经常会用来解决一些数学问题的工具叫(jiao)做「暴力推理」，但是数学界对于这种方法(fa)卻(que)常常嗤(chi)之以鼻(bi)。

然而，AI科学家们好像并不太在意数学家们的想(xiang)法，不斷(duan)地用他们自己熟悉(xi)的办法，去攻(gong)占(zhan)数学「高地」。

卡耐(nai)基梅隆大学的计算机科学家Heule曾经在2016年用一个200T的「SAT 求(qiu)解器」文件去解决「布(bu)尔畢(bi)达哥(ge)拉(la)斯三(san)元组问题」。

https://cacm.acm.org/magazines/2017/8/219606-the-science-of-brute-force/fulltext

《自然》雜(za)誌(zhi)在文章中却说到：200T的证明是史(shi)上最大的证明过程，用这些工具解决问题是否真(zhen)的算数学？

但是在解决问题的论文作(zuo)者本人，计算机科学家Heule看来，「这种方法是解决超过人类能力范圍(wei)的问题所必(bi)須(xu)的。」

同样的，在國(guo)際(ji)象棋(qi)比賽(sai)中戰(zhan)勝(sheng)了人类（AlphaZero）之后，DeepMind又设计了机器学習(xi)算法来解决蛋(dan)白(bai)質(zhi)折(zhe)疊(die)（AlphaFold）。

DeepMind发表了一篇论文，认为他们取(qu)得这些成果(guo)的方式，是通过AI来引导人类的直覺(jiao)，从而推进数学发展。

https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

而一位(wei)前谷歌计算机科学家，现在正在湾区创業(ye)的Yuhuai Wu也表示，自己的创业的方向就是利(li)用机器学习来解决数学问题。

他目前的项目，Minerva，就是一个用来解决数学模(mo)型的微調(tiao)大语言模型。

未(wei)来，他希望这个项目能成長(chang)为一个「自动化数学家」，可以作为一个通用研究助理来「獨(du)立解决数学问题」。

数学是一个试金石(shi)

另一方面，很多深度接觸(chu)过AI技(ji)術(shu)的数学家也对AI在数学研究中不被重视提出了担心。

他们认为，人工智能技术经常能夠(gou)「直接地」帮助数学家们「找(zhao)到」自己想要的答(da)案。

雖(sui)然数学家或者AI專(zhuan)家们都搞(gao)不清楚AI是如何找到这个答案的。

与DeepMind合(he)作过的数学家Geordie Williamson曾经分享(xiang)了一段(duan)与DeepMind合作的经历。

他在和DeepMind合作的过程中，DeepMind发现的一个神(shen)经網(wang)絡(luo)可以预测他认为很重要的数据值，而且(qie)異(yi)常准确。

他就很努(nu)力地去试图理解AI是如何做到的，因为这可能成为一个定理的基础。

但他最后还是没办法搞懂AI的逻辑，而且DeepMind的人也没法做到。

就像欧几里得一样，神经网络以某(mou)种方式找到了真理，但是逻辑原因却很難(nan)被理解。

另一方面，从这位数学家的角(jiao)度看来，推理是数学的精髓(sui)，但却是机器学习中一直缺少(shao)的一塊(kuai)拼(pin)图。

在科技圈中，如果有一个黑箱(xiang)在大部(bu)分情(qing)況(kuang)下都能提供解决问题的方法，科技圈就会非常滿(man)足了。

AI就是这样一个黑箱。

但是数学家们却不会满足于这种狀(zhuang)况。

这位数学家看来，尝试理解神经网络的原理会引发出令(ling)人着迷(mi)的数学问题。

而解决这些问题，会让数学家「为世界做出有意义的貢(gong)獻(xian)」。

假(jia)如AI能证明数学定理

如果AI生成的假设定理充斥(chi)整(zheng)个世界，我们該(gai)怎(zen)麽(me)做？

网友(you)对此发出靈(ling)魂(hun)拷(kao)问，我对AI系统提出新的假设/公式是第一步有所懷(huai)疑(yi)，因为DeepMind早已在纽結(jie)理论中做到了。

我想知(zhi)道(dao)，社区将如何应对AI输出的大量新假设。check人工智能创建的逻辑论点是一回(hui)事；被数百(bai)萬(wan)个「哦(o)，这可能是真的」建議(yi)淹(yan)没是另一回事。我不认为我们现有的評(ping)论和出版(ban)系统为此做好了准备。

这会对人们对数学的信任產(chan)生什(shen)么影(ying)響(xiang)？

有人认为，机器并不能很快(kuai)就能完成数学研究，但可以看到它改变了研究方式，就像机器学习模型和计算能力如何改变了生物学领域一样。

还有网友表示，从AlphaDev开始，我就一直在思考这个问题，但是同样的程序可以構(gou)建排(pai)序算法，也可以使用自动证明检查器来证明数学定理。真正的问题是它是否可以用来证明一些重要的東(dong)西(xi)，而不僅(jin)仅是微不足道的发现。

不过还是有网友依(yi)然对GPT类的工具能否真的发现有價(jia)值的真理持怀疑态度。

也有网友指出，可能人类和AI对于数学理解和关注本就有区別(bie)，AI证明了什么是真的，而人类總(zong)是关注为什么它是真的。

参考資(zi)料(liao)：

https://www.nytimes.com/2023/07/02/science/ai-mathematics-machine-learning.html返(fan)回搜(sou)狐(hu)，查看更(geng)多

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