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keyixuanzebutongdexiaogongzhuzaoxing，keyidapeibutongdeyifupeishi；gengfangbiandetupiancaozuocengcengyanxuan，yaoqingwuzhihongdengyongyouzhuanyeshouxunbeijingde00+weizishenxinlizixunshiruzhukaishinidebuduanchuangguan，wanchengyouxijingxinshezhiderenwu，genghaodequbaituozhegekunjing;jiandandezuozhanmoshi，fengfudeyouxiwanfa，xindetiaozhandengzheniqutiyan清(qing)華(hua)、上(shang)交(jiao)等(deng)聯(lian)合(he)發(fa)表(biao)Nature子(zi)刊(kan)：「分(fen)片(pian)線(xian)性(xing)神(shen)經(jing)網(wang)絡(luo)」最(zui)新(xin)綜(zong)述(shu)！

新智(zhi)元(yuan)報(bao)道(dao)

編(bian)輯(ji)：LRS 好(hao)困(kun)

【新智元導(dao)讀(du)】壹(yi)篇(pian)論(lun)文(wen)帶(dai)妳(ni)读完(wan)「連(lian)續(xu)分片线性函(han)數(shu)」的(de)发展(zhan)。

连续分片线性函数是(shi)一類(lei)具(ju)備(bei) 局(ju)部(bu)线性特(te)性和(he) 全(quan)局非(fei)线性特性的 连续函数。具有(you)特定(ding)表示(shi)模(mo)型(xing)的连续分片线性函数能(neng)夠(gou)對(dui)緊(jin)集(ji)上的任(ren)意(yi)连续函数進(jin)行(xing)全局逼(bi)近(jin)。

其(qi)本(ben)質(zhi)是利(li)用(yong)有限(xian)数量(liang)的线性函数对復(fu)雜(za)的 非线性系(xi)統(tong)进行精(jing)確(que)建(jian)模，即(ji)在(zai)保(bao)持(chi)局部线性特性的同(tong)時(shi)，使(shi)整(zheng)體(ti)建模表現(xian)出(chu)非线性特性。

分片线性神经网络（PieceWise Linear Neural Networks，PWLNN）是利用连续分片线性函数对非线性系统建模的主(zhu)要(yao)方(fang)法(fa)之(zhi)一。

當(dang)合理(li)配(pei)置(zhi)神经网络网络結(jie)構(gou)及(ji)神经元中(zhong)的 激(ji)活(huo)函数（如(ru)ReLU等分片线性映(ying)射(she)函数），可(ke)以(yi)得(de)到(dao)一类PWLNN，並(bing)以此(ci)為(wei)基(ji)礎(chu)，靈(ling)活利用常(chang)見(jian)的神经网络模型參(can)数優(you)化(hua)算(suan)法和各(ge)类成(cheng)熟(shu)的計(ji)算平(ping)臺(tai)，實(shi)现对复杂非线性系统或(huo)数據(ju)集进行黑(hei)箱(xiang)建模。

圖(tu)1 二(er)維(wei)连续分片线性函数示例(li)[2]

最近由(you) 清华大(da)學(xue)自(zi)動(dong)化系、 比(bi)利时荷(he)語(yu)魯(lu)汶(wen)大学電(dian)子系、 上海(hai)交通(tong)大学自动化系以及 之江(jiang)实驗(yan)室(shi)的研(yan)究(jiu)人(ren)員(yuan)共(gong)同完成的一篇发表在 《自然(ran)-综述》系列(lie)期(qi)刊上的综述论文，系统地(di)介(jie)紹(shao)了(le) 分片线性神经网络表示模型（包(bao)括(kuo)淺(qian)層(ceng)及深(shen)度(du)网络）、优化算法、理论分析(xi)以及應(ying)用。

清华大学自动化系 李(li)力(li)教(jiao)授(shou)及王(wang)書(shu)寧(ning)教授指(zhi)导的博(bo)士(shi)畢(bi)業(ye)生(sheng) 陶(tao)清华（现任比利时荷语鲁汶大学博士後(hou)）、 黃(huang)曉(xiao)霖(lin)（现任上海交通大学副(fu)教授）为论文的通訊(xun)作(zuo)者(zhe)，其中陶清华博士为论文第(di)一作者，其他(ta)共同作者包括 王书宁教授、比利时荷语鲁汶大学 Johan A.K. Suykens教授及王书宁教授指导的博士毕业生 襲(xi)向(xiang)明(ming)（现任之江实验室助(zhu)理研究员）。

清华大学自动化系王书宁教授團(tuan)隊(dui)近二十(shi)年(nian)來(lai)在分片线性神经网络方向開(kai)展了系统的研究，取(qu)得了一些(xie)重(zhong)要成果(guo)，顯(xian)著(zhu)推(tui)进了該(gai)領(ling)域(yu)的发展。

目(mu)前(qian)，团队成员遍(bian)布(bu)於(yu)國(guo)內(nei)外(wai)的研究機(ji)构，繼(ji)续從(cong)事(shi)分片线性神经网络及其相(xiang)關(guan)科(ke)研工(gong)作，共同促(cu)进相关理论的发展和成果轉(zhuan)化。

Nature Reviews Methods Primers于2021年1月(yue)創(chuang)刊，致(zhi)力于加(jia)強(qiang)跨(kua)学科的協(xie)作，出版(ban)多(duo)领域前沿(yan)方法或技(ji)術(shu)的综述文章(zhang)，旨(zhi)在为處(chu)于不(bu)同職(zhi)业階(jie)段(duan)或具有不同研究背(bei)景(jing)/不同知(zhi)識(shi)儲(chu)备的跨学科研究者和实踐(jian)者提(ti)供(gong)了解(jie)、評(ping)估(gu)和应用前沿方法和技术的信(xin)息(xi)交流(liu)平台。

基本背景及发展歷(li)程(cheng)

为了將(jiang)PWLNN更(geng)好地应用于数据科学，学者們(men)長(chang)期以来一直(zhi)圍(wei)繞(rao)兩(liang)個(ge)基本問(wen)題(ti)展开研究，即表示模型及其参数学習(xi)算法，其中前者旨在建立(li)具备分片线性特性和充(chong)分的逼近能力的数学模型[2-11]，后者則(ze)研究適(shi)应大規(gui)模数据的表示模型参数準(zhun)确而(er)快(kuai)速(su)的学习算法[9-22]，从而使PWLNN能够准确描(miao)述給(gei)定数据或待(dai)研究系统对象(xiang)的特性。

图3. 模型部分概(gai)況(kuang)[1]

1977年，著名(ming)电路(lu)系统專(zhuan)家(jia)蔡(cai)少(shao)棠(tang)（Leon O. Chua）等在电路系统分析中首(shou)次(ci)成功(gong)提出了紧湊(cou)的PWLNN表示法，即典(dian)範(fan)表示模型[3]。

1993年，著名统计和机器(qi)学习专家Leo Breiman开创了另(ling)一类基于鉸(jiao)鏈(lian)的模型表示，即链接(jie)超(chao)平面(mian)模型[4]，其與(yu)当今(jin)深度神经网络中最流行的激活函数之一，即线性整流單(dan)元（Rectified Linear Units, ReLU），極(ji)为类似(si)。

隨(sui)后王书宁教授将其推廣(guang)至(zhi)具有全局表示能力的广義(yi)链接超平面模型[8]。

随著(zhe)典范表示模型和链接超平面模型的提出，PWLNN相关研究也(ye)得到快速发展，其中大部分工作围绕浅层网络结构和参数学习方法而展开。

2010年，Nair和Hinton提出的ReLU21大幅(fu)度提高(gao)了深度学习在各種(zhong)基于数据驅(qu)动的任務(wu)中的效(xiao)果，使得具有深层网络结构的PWLNN得到更加广泛(fan)的关註(zhu)。

PWLNN表示模型及其学习方法

如上图3所(suo)示，PWLNN可分为两大类，即浅层的PWLNN（如图3中下(xia)半(ban)部分左(zuo)右(you)两图所示）和深层的PWLNN（如图2中上半部分图）。

浅层的PWLNN主要分为两大类，即基函数組(zu)合模型及格(ge)模型。

其中前者通過(guo)对具有不同结构、参数和特性的基函数进行组合，如图4(a)(b)所示，实现能够滿(man)足(zu)不同場(chang)景的具有不同逼近能力、表示能力、参数及结构的辨(bian)识難(nan)易(yi)程度的PWLNN

后者则通过显式(shi)枚(mei)舉(ju)可行域的各个子區(qu)域所对应的线性表達(da)，并利用min-max（或max-min）的嵌(qian)套(tao)形(xing)式，实现PWLNN的紧凑表示，如图4(c)所示。

格模型中线性子区域的显式表达特性在一些特定应用场景下尤(you)为重要，例如模型預(yu)測(ce)控(kong)制(zhi)[25,31]。

图4. (a) 二维链接超平面模型基函数示意图; (b) 二维单純(chun)形模型基函数示意图;（c) 一维格模型示例图 (含(han)5个子区域线性表达式)

对比而言(yan)，由于网络深度的限制，浅层的PWLNN通常通过篩(shai)選(xuan)更为有效的神经元，而逐(zhu)漸(jian)增(zeng)加网络寬(kuan)度的方式，提升(sheng)模型灵活性，然而在反(fan)复搜(sou)索(suo)有效神经元的过程往(wang)往會(hui)犧(xi)牲(sheng)算法效率(lv)，同时缺(que)少对全局信息的考(kao)慮(lv)。

与浅层PWLNN更加側(ce)重于神经元连接方式的特點(dian)不同，深层的PWLNN更加侧重于在深度神经网络中引(yin)入(ru)形式簡(jian)单的分片线性函数作为激活单元，从而是深层PWLNN整体表现为逐层嵌套的分片线性映射函数。

深层的PWLNN更偏(pian)好于增加网络深度[23]，這(zhe)种方式的优勢(shi)在于能够更加高效而灵活地实现分片线性子区域的劃(hua)分，并使模型具有更好的灵活性，例如图5中的典型全连接深层PWLNN模型结构示意。

图5. 一般(ban)PWLNN模型结构示意图

通过逐层的分片线性函数映射，定义域会被(bei)划分为更多的线性子区域，如图6所示。

图6中(b)、(c)、(d)为(a)所示网络中第一层隱(yin)含层、第二隐含层、第三(san)隐含层中神经元輸(shu)出对应的定义域划分，可见随着网络深度的嵌套网络定义域被划分成更多的子区域，即神经元输出由更多不同片线性子函数构成，因(yin)此可以得到更为灵活的PWLNN。

又(you)例如图7中示例所示，随着网络层数的加深，定义域可被灵活的划分为眾(zhong)多具有线性特性的子区域，从而可以更为精确的地对数据进行擬(ni)合，实现强大的逼近能力。

图6. 二维简单PWLNN（ReLU为激活函数）网络结构及其定义域划分示意图[32]

图7. 简单的深层PWLNN定义域划分示意图[33]

对于更为一般的情(qing)况，与浅层PWLNN模型类似，深层PWLNN网络中神经元的连接方式也可多樣(yang)化，例如全连接网络和卷(juan)積(ji)神经网络CNN，以及逐层连接和殘(can)差(cha)网络ResNet。

进一步(bu)的，PWLNN中神经元間(jian)的非线性傳(chuan)遞(di)函数也可以为一般形式的连续分片线性函数，不僅(jin)限于一般的一维函数，例如ReLU及Leaky ReLU[34]，也可以为多维的Maxout[26]等。

图8示意了具有一般形式的PWLNN网络结构，适用于上述所有浅层和深层PWLNN模型。

图8. 一般PWLNN模型结构示意图

学习算法

浅层的PWLNN的参数学习算法主要是增量式地逐步添(tian)加神经元和/或更新参数，其目標(biao)是学习到一个更宽的网络，以实现更好的学习效果。

不同的浅层PWLNN模型通常有其特有的学习算法，充分考虑模型特有的幾(ji)何(he)特性及实際(ji)应用需(xu)求(qiu)，例如图4(a)中对应的链接超平面模型对应找(zhao)链接算法[13]，及图4(b)中单纯形模型对应的基于单纯形找片的辨识算[2]等。

以图9为例，通过逐步添加左侧所示的辨识得到的三个基函数，可得到右侧对应的PWLNN，实现对示例中正(zheng)弦(xian)函数的逼近。

图9. 基于增量式学习的单纯形找片算法示意图[2]

浅层的PWLNN广泛应用于函数逼近、系统辨识及预测控制等领域中的问题，但(dan)在处理高维问题、大规模数据及复杂任务时，这些模型的灵活性及算法效率仍(reng)具有局限性[5]。

相比較(jiao)而言，深层的PWLNN的学习则延(yan)续了深度学习中一般深度网络的优化算法，即其通常具有预先(xian)确定的网络结构，并在基于梯(ti)度反向传播(bo)策(ce)略(lve)和随机梯度下降(jiang)算法的学习框(kuang)架(jia)下进，优化网络参数，这样实现了对优化过程的简化并提高了学习效率，从而使其可以求解复杂问题[16]。

值(zhi)得一提的是，分片线性激活函数（如ReLU）的引入，能有效抑(yi)制梯度消(xiao)失(shi)等影(ying)響(xiang)深度学习应用效果的不利特性[22]，因此PWLNN的发展也在一定程度上促进了深度学习的发展。

此外，在GPU/TPU等硬(ying)件(jian)和各类成熟的深度学习軟(ruan)件平台的支(zhi)撐(cheng)下，对计算能力具有较高需求的深层的PWLNN能够应用于更大规模的问题，使其在当今的大数据时代(dai)脫(tuo)穎(ying)而出。

分片线性特性

与其他非线性函数不同，分片线性函数具有一个重要性质，即其对定义域划分和子区域局部线性表达的可解釋(shi)性。

除(chu)了强大的逼近能力，目前分片线性還(hai)被广泛的应用于深度学习中的各类理论分析中[24-30]，例如通过利用线性子区域邊(bian)界(jie)特性验證(zheng)对于给定输出情况下网络输出预测的鲁棒(bang)性验证[28-29]，以及利用估计线性子区域片数衡(heng)量网络灵活性[24]等。

深层PWLNN的分片线性特性导致的复杂的子区域划分及模型表达式会阻(zu)礙(ai)分片线性函数的可解释能力和带来难易预测的行为特征(zheng)。

浅层的PWLNN的建模及学习算法通常会考虑定义域中各子区域的局部线性特征，并以实现足够稀(xi)疏(shu)的模型结构为参数学习目标。

特別(bie)地，具有不同形式的浅层PWLNN对应了不同的参数学习算法，这些算法充分考虑了各模型特有的几何特征，从而实现较好的学习效果。

例如，对应于链接超平面模型的找链接算法[13]，对应于自适应链接超平面模型的基于定义域划分的樹(shu)形结构算法[9]等。

然而，深层的PWLNN通常忽(hu)略了模型的几何特征，而通过为各个神经節(jie)点配置形式简单的分片线性映射函数，并结合多层结构带来的非线性特性逐层疊(die)加效应，以实现极其复杂的子区域划分和局部线性表达。

盡(jin)管(guan)在各领域问题的求解过程中的数值结果证明了深层PWLNN的优越(yue)性能，但模型参数学习算法与模型结构相獨(du)立，一般采(cai)用深度学习的常用策略，即随机梯度下降算法，而忽略了分片线性特性对学习过程的影响。

因此，在这一点上，未(wei)来仍有很(hen)多亟(ji)待研究的问题。

例如，如何为具有不同网络结构和神经元映射函数的PWLNN构建特有的学习算法，在保持参数稀疏性和模型可解释性的同时，提升学习过程的效率和效果；

对于给定数据集，是否(fou)能够以及如何找到一个具有最简单结构和模型可解释性的深层PWLNN；

这样的PWLNN应该通过显式的构建一个浅层PWLNN或隐式的的正则化一个深层PWLNN得以实现；

如何建立PWLNN与其他强調(tiao)局部特征学习的深度神经网络之间的区别和关系等。

综上，此综述对PWLNN方法论进行了的系统性回(hui)顧(gu)，从浅层网络和深层网络两个方面对表示模型、学习算法、基础理论及实际应用等方面内容(rong)进行了梳(shu)理，展现了浅层的PWLNN向当今广泛使用的深层的PWLNN的发展历程，全面剖(pou)析了二者之间的关联关系，并对现存(cun)问题和未来研究方向进行了深入討(tao)论。

不同背景的读者可以很容易地了解到从PWLNN的开创性工作到当今深度学习中最先进的PWLNN的发展路线。同时，通过重新思(si)考早(zao)期的经典工作，可将其与最新研究工作相互(hu)结合，以促进对深层PWLNN的更深入研究。

综述文章閱(yue)读链接：https://rdcu.be/cPIGw

综述文章下載(zai)链接https://www.nature.com/articles/s43586-022-00125-7

arXiv版本下载链接 https://arxiv.org/abs/2206.09149

编辑同期配发了PrimeView进行推介 https://www.nature.com/articles/s43586-022-00137-3

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